数字类型 - 表示和编码

时间有限，草稿版本，以后深入研究再修。

前言

一般地讲，数字类型的存储可以分为两层抽象，表示形式和（对表示形式）的编码方式。

整型（Integer）

表示形式

整型数字的表示形式没有什么特别的，就是它的自然二进制表示。¹

编码方式

对于无符号整数和有符号的正整数来说，编码方式就是自然的二进制表示，只有对于有符号的负整数（包括负零）要考虑特别的编码方式。

有几种对于负整数的编码方式：

幅值编码（Sign–magnitude）

除了在最高有效位标记外，其他部分和正整数或无符号整数一样。

1 的补码（Ones’ complement）

对负整数的每一位都取反。

2 的补码（Two’ complement）

对负整数的每一位都取反，再加 1 。

主流编码方式。

偏移二进制（Offset binary）

也称为 excess-K ，就是加一个 K ，使得负数变为正数。

IEEE-754 规范的浮点数的指数部分就采用了这个方法的一个变种。

-2 基数

参考

浮点数（Float）

这里讲的是 IEEE-754 标准的浮点数。

表示形式

二进制形式的科学记数法。

\[( s ) \ 1.( t ) \times 2^{( e )}\]

十进制与二进制转换

使用过程中，隐含一个对于十进制与二进制转换的问题。

对于整数部分，没有任何问题，但是对于小数部分，很多常见的十进制数字是不能由 $2^{-1} + 2^{-2} + \dots 2^{-n}$ ，所精确表示的，实际存储的是一个近似的数学上的积分表示。

精度取舍

在向低精度舍入时，可以允许配置多种舍入策略，标准实现应该提供 roundTiesToEven 策略和 roundTowardPositive ， roundTowardNegative 和 roundTowardZero 这三种有特定舍入方向的策略。

其中 roundTiesToEven 应该把它作为二进制表示数字的默认策略，十进制的表示数字的舍入策略是语言特定的，但也应当采取该策略。

roundTiesToEven

首先选择距离最近的那个数，

否则如果存在两个等距离候选，就选择那个最低有效位是偶数的，

否则就选精度部分数字（magnitude）最大的。

编码方式

按照最高有效位（MSB）的顺序具体如下：²

S

符号位，没什么好说的，最高有效位标记表示负数。

E

由于指数部分实际上是一个有符号整数，这里采取了 excess-K 的编码方案，$K=2^{e-1}-1$ ，这样距离零最远的负数加上 $K$ 后恰好为 $0$。

T

精度部分，省略了小数点前面固定的 $1$ 。

特殊值

当精度部分为 $0$ ，指数部分最小（偏移后为 $0$ ），此时存在当前精度无法表示的小数，也就是发生了 underflow ，此时的状态称为 subnormal。

反过来，如果指数部分最大（偏移后全为 $1$），则可能成为 $\pm\ \infty$ ，或者 NaN 。

规定精度部分全为 $0$ 则是 $\pm\ \infty$，否则为 NAN ，特别地 IEEE-754-2008 之后规定了精度部分最高有效位 $d_1$ 为 $0$ 表示 signaling NAN ，而其他属于默认的 quiet NAN。

注解