代数结构

我们介绍得是抽象代数（abstract algebraic, modern algebraic）的结构，相对的我们熟悉的初等代数（elementary algebraic）就是研究代数方程，而我们抽象代数，显然就是更抽象了，但还有在它之上抽象的存在，那就是范畴论（category theory），是从哲学系那边转学过来的。

如果说初等代数是实参函数，抽象代数就是类接口，范畴论就是元类。

群（Group）

群，是一个集合和一个（二元）操作¹。

并且：

以整数集合 $\mathbb Z$ 和操作 $\cdot$为例

1. 操作有结合性（associativity），$(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b \cdot c)$
2. 有单位元（identity element） $e$²，使得 $a \cdot e = e \cdot a = a$
3. 每个元素 $a$ 都有逆元 $b$ ，使得 $ a\cdot b = b \cdot a = e$ ，$b$ 也被称为 $a^{-1}$

子群（Subgroup）

对于群 $\langle G,\cdot \rangle$，如果有集合 $H\subseteq G$，并且 $\langle H,\cdot \rangle$ 也构成群，那么 $H$ 就是 $G$ 的子群³ ，记作 $H \leq G$。

显然，任何群的都有一个平凡子群 $\lbrace e \rbrace$ 。

超群结构

阿贝尔群（Abelian Group）

操作额外满足交换律 $a \cdot b = b \cdot a$ 的群⁴

类群结构

但是还有部分满足群条件的类群结构。

幺半群（Monoid）

如果没有逆元，那它就是幺半群⁵。

比如 $\langle\mathbb N,\cdot\rangle$ ，相对于 $\langle\mathbb Z,\cdot\rangle$ 只有正整数那半边，没有负整数一边，所以没有逆元。

半群（Semigroup）

如果连单位元都没有，那它就是半群。

比如 $\langle \lbrace x \vert x \gt 1, x \in {\mathbb Z} \rbrace,\cdot \rangle$ 。

原群（Magma）

如果连结合性都没有，就一个集合和操作，那它就是原群。

英文维基百科上有个图把这个类群关系总结的非常好 ：

环（Ring）

环，是一个集合，两个（二元）操作

并且 $\langle R,+,\cdot \rangle$ ：

1. $\langle R,+\rangle$ 是阿贝尔群

2. $\langle R,\cdot\rangle$ 是幺半群

3. 满足 $\cdot$ 在 $+$ 上的分配律（distributive）⁶

   3.1. $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ （左分配，left distributivity）

   3.2. $(b + c)\cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$ （右分配，right distributivity）

零环

零环（Zero Ring）⁷ ，就是只含有“乘法”上的 “零元” 和 加法上的“幺元” 的单元素环，记作 $\lbrace 0 \rbrace$ ，或 $\mathbf 0$ 。

超环结构

Domain

Domain⁸，就是非零环。

交换环（Commutative Ring）

交换环，就是“乘法”满足交换律的环。

整环（Integral Domain）

整环⁹，就是非零的、交换环。

类环结构

注解